À descoberta da escala do espaço Teach article

Traduzido por Pedro Augusto. Como medem os astrónomos as distâncias das estrelas? O uso de uma máquina fotográfica digital para registar movimentos de paralaxe é um método preciso e autêntico que pode ser usado em sala de aula.

Os astrónomos são observadores remotos, separados por grandes distâncias dos seus objetos de estudo. Saber a distância dos objetos celestes é crucial: esta é um fator-chave na distinção entre um objeto muito brilhante e distante e um muito mais próximo mas com brilho próprio inferior – assim, podemos mais facilmente descobrir de que objeto se trata. Estrelas isoladas e galáxias inteiras podem parecer semelhantes – até sabermos que umas estão biliões de vezes mais longe do que as outras e, assim, em realidade são triliões de vezes mais brilhantes.

O método astronómico mais importante na medição de distâncias entre a Terra e as estrelas é a paralaxe – o deslocamento aparente em posição de um objeto visto consoante o observador muda o seu local. Damos conta do efeito de paralaxe quando olhamos para fora de uma janela de um comboio em movimento: os objetos mais próximos parecem deslocar-se bem mais depressa do que os mais longínquos. Usando este efeito podemos determinar a distância a um objeto medindo a alteração aparente da sua posição quando o nosso local como observadores muda.

O desafio, claro, é a precisão. Como podemos fazer medições de distâncias baseadas em paralaxe tão precisas quanto for possível? Neste segundo artigo sobre a medição de distâncias com recurso à paralaxe usamos um método autêntico, muito semelhante ao utilizado pelos astrónomos, que foi adaptado para sala de aula (ver o anterior artigo em Pössel, 2017). Em vez de utilizar aparelhos que medem ângulos (como no artigo anterior, que foi baseado em medições com um teodolito) para determinar a distância a uma ‘estrela’ vamos tirar fotografias de diferentes posições e utilizar estas para as medições que precisamos para calcular a distância à nossa estrela.

Uma variação deste método fotográfico, descrito mais à frente neste artigo, é ainda mais autêntica e precisa, embora um pouco mais complicada. Envolve a utilização de um ponto fixo de referência fora da sala de aula – tal como os astrónomos usam objetos de fundo muito distantes (e.g. galáxias ativas chamadas quasares) como pontos de referência fixos quando medem paralaxes estelares, em vez de confiarem que os seus telescópios apontam exatamente na mesma direção em cada observação.

Para estas atividades vai ser necessária uma máquina digital montada (se possível) numa bancada ótica (ver figura 1). As atividades podem ser feitas em grupo. Contar com cerca de 30 minutos para a montagem e as medições e outros 30 minutos para a análise e os cálculos.

Materiais

• Máquina digital com lente de distância focal conhecida (que deve ser, pelo menos, de 50mm)
• Bancada ótica (ou algo semelhante para se conseguir mover a máquina fotográfica de lado e medir o deslocamento; pode constituir-se numa mesa lisa e numa régua comprida)
• Estrela-modelo (uma pequena esfera com menos de 1cm de diâmetro ou um LED, montada(o) numa vara)
• Um objeto de comprimento conhecido com marcas bem visíveis (e.g. régua métrica), como objeto de calibração
• Fita métrica
• Programa de processamento de imagens, e.g., Adobe Photoshop, GIMP

Procedimento

1. Monte a máquina fotográfica na bancada ótica de forma a se conseguir deslocá-la de lado numa distância conhecida. A máquina fotográfica deve apontar num ângulo reto em relação ao eixo sobre o qual se desloca (figura 1). Se não existir uma bancada ótica, colar uma régua comprida na superfície de uma mesa de forma a mover a câmara ao longo da régua e medir o respetivo deslocamento.

2. Coloque a estrela-modelo ao nível da máquina fotográfica e a uns poucos metros de distância.
3. Deslize a máquina fotográfica para uma das extremidades da bancada, garantindo que a estrela é visível através da máquina fotográfica. Tire uma foto da estrela dessa posição.
4. Depois, deslize a máquina fotográfica ao longo da bancada ótica de forma a que a estrela se mantenha visível através da lente. Registe a distância deslocada e tire outra foto desta posição.
5. Recoloque a máquina fotográfica numa posição central. Agora, coloque o objeto de calibração (e.g. uma régua métrica) a um ângulo reto em relação à linha de visão da máquina fotográfica e tire uma foto do mesmo. Esta imagem vai ser usada para calibrar as suas medições.
6. Recorrendo a uma fita métrica, determine a distância entre a máquina fotográfica e a régua métrica.

Cálculo da distância à estrela

A situação experimental está representada na figura 2. Aqui, b representa o deslocamento ao longo da linha-de-base da máquina fotográfica (sobre a bancada ótica ou sobre a mesa) entre a primeira e a segunda posições (A e B), enquanto C é a posição da estrela-modelo e d a distância da linha-de-base da máquina fotográfica à estrela – ou seja, a distância que pretendemos calcular.

Os passos para o cálculo da distância d são os seguintes:

1. Se traçarmos uma reta paralela à linha-de-base e à mesma distância d da estrela, a linha de visão da máquina fotográfica desde a posição A interseta a nova reta em OA e desde a posição B em OB. Os ângulos entre as duas linhas de visão da máquina fotográfica e a direção da estrela nas posições A e B são α e ß, respetivamente.
    

   

   Ao contrário dos teodolitos, as máquinas fotográficas não permitem a medição direta de ângulos. Assim, precisamos de relacionar a localização das imagens da estrela no ecrã do detetor de imagens da máquina fotográfica com o ângulo dos raios de luz da estrela quando a máquina fotográfica está em diferentes posições.

2. Para tal, precisamos de considerar a situação de uma forma simplificada e ficcionada. Em primeiro lugar, tratamos a lente da máquina fotográfica como um buraco de alfinete – como mostrado na figura 3, onde P é a posição da lente. Assim, um raio de luz da estrela viaja numa linha reta através da lente da máquina fotográfica e atinge o detetor no ecrã a uma distância f (a distância focal da lente) atrás da frente da máquina fotográfica.
    

   

3. Começando com a figura 2, depois pensamos na situação do ponto de vista da máquina fotográfica conforme esta é movida de A para B – como se fôssemos um observador que estivesse dentro da máquina fotográfica durante o percurso. Conseguimos tal ao deslocar a posição A da máquina fotográfica (e a reta AC) para a direita na distância b em que máquina fotográfica foi deslocada, de forma a ambas as posições da máquina fotográfica agora coincidirem.

   O ponto de vista da máquina fotográfica é mostrado na figura 3. O local aparente da estrela é C_A quando a máquina fotográfica está na primeira posição (A) e a sua imagem vai estar localizada em D_A no ecrã. De forma semelhante, depois de deslocar a máquina fotográfica para B, a localização aparente da estrela é em C_B e a respetiva imagem em D_B. (Aqui o segmento de reta OQ representa a distância entre o plano de imagem da máquina fotográfica e o plano paralelo que contém a estrela.) O comprimento C_BC_A é a distância b na figura 2, enquanto os ângulos a e ß se mantêm os mesmos.

4. Observando a geometria podemos encontrar alguns triângulos semelhantes. Utilizando estes triângulos deduzimos uma fórmula que relaciona a distância d com os outros conhecidos comprimentos b e f, o que nos permite calcular o seu valor. A dedução da fórmula está feita na secção dos materiais adicionais^w1.

   A formula é:

   
   Onde:
   d = distância à estrela
   L = comprimento do objeto de calibração
   b = distância em que a máquina fotográfica foi deslocada (de CA para CB)
   d_L = distância do objeto de calibração à linha-de-base da máquina fotográfica (ao longo da reta OQ)
   p = distância como o número de pixeis entre imagens da estrela (em DA e DB)
   p_L= comprimento em número de pixeis da imagem do objeto de calibração

5. Para usar esta fórmula, em primeiro lugar é necessário utilizar um programa de processamento de imagem para encontrar p, o número de pixéis (segundo o eixo horizontal) que separa as posições da imagem da estrela entre as duas fotos quando se vêem no ecrã. Também se pode utilizar o programa para encontrar p_L, o comprimento do objeto de calibração em pixéis no ecrã.

Quanto tiver determinado o valor de d, usou com sucesso a medição da paralaxe para determinar a distância à estrela.

Use agora a fita métrica para encontrar diretamente a distância d e compare-a com o valor calculado por paralaxe. Quão precisa foi a medição calculada?

Pode repetir esta atividade com a ‘estrela’ colocada a diferentes distâncias de forma a descobrir se a precisão das medições de paralaxe se altera com a distância (ver a secção abaixo ‘Que precisão devemos esperar?’)

Fotografia de paralaxe com um ponto de referência

Para um ainda maior realismo astronómico, podemos adaptar o método da paralaxe fotográfica de forma a utilizar um objeto fora da sala de aula, que deve estar consideravelmente mais longe do que a ‘estrela’. Com este procedimento, em vez de depender da máquina fotográfica apontar na mesma direção conforme se move de A a B, escolhemos um objeto de referência distante que seja visível em cada uma das duas imagens. Depois medimos a distância em pixéis da imagem da estrela ao objeto de referência em cada imagem. Esta abordagem alternativa, que descrevemos aqui, deve proporcionar resultados mais precisos.

Procedimento

1. Para objeto de referência, encontre um pequeno detalhe no objeto mais distante que se vê em ambas as imagens – este deve estar muito mais distante do que a estrela-modelo. No nosso caso, escolhemos como detalhe de referência uma das cúpulas do observatório do Max Planck Institute for Astronomy, que estava localizada a cerca de 80m da nossa máquina fotográfica.
2. Trace uma reta vertical através do detalhe de referência em cada imagem. Esta é a reta de referência. Podemos agora usar a reta de referência para encontrar o deslocamento em pixéis entre as duas imagens, como se mostra na figura 4.
    

   

3. De forma a determinar p, a distância em pixéis no ecrã, precisa primeiro de encontrar a distância horizontal em pixéis da estrela-modelo para a reta de referência em ambas as imagens separadamente. Depois, simplesmente some estes valores (corrigidos) de pixeis horizontais um ao outro para encontrar p. Por exemplo, -24 px seriam 24 pixeis à esquerda da marca de referência, enquanto +36 px são 36 pixeis para a direita, o que dá uma distância de 60 pixeis.
4. A partir deste ponto, os cálculos são os mesmos que os do método anterior (ver secção acima, ‘Cálculo da distância à estrela’).

Que precisão devemos esperar?

Bom, quão precisos são os resultados obtidos com este método melhorado? Os nossos dados sugerem que podem ser notavelmente precisos (comparados com o método das distâncias diretamente medidas), como mostrado na figura 5. O erro máximo relativo é de apenas 3.2%.

Note que a distâncias maiores há um aumento no erro relativo e no erro, de facto. Isto é devido a uma alteração da geometria: a distância à estrela-modelo torna-se grande comparada com a distância ao objeto de referência, de tal forma que o erro introduzido pela paralaxe do objeto de referência se torna cada vez maior.

Com o método de medição de ângulos simples descrito no artigo anterior (Pössel, 2017), a precisão da medição de distâncias era bastante mais baixa – usualmente dentro de cerca de 10%, como se mostra na figura 6. Assim, o método descrito neste artigo permite uma melhoria significativa na precisão em relação ao método anterior, onde as fontes dominantes de erro são as medições de ângulos.