Dynamika występowania chorób: jak rozprzestrzeniają się choroby Teach article

Tłumaczenie Grzegorz Gaura. Poznajmy sposoby rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych w oparciu o ćwiczenia, które prezentują praktyczne zastosowania szkolnej matematyki.

Szkoły to miejsca sprzyjające rozwijaniu się infekcji: uczniowie nieustannie wchodzą ze sobą w interakcje, a w wielu przypadkach nie są jeszcze odporni na choroby. Bliższe poznanie wzajemnych interakcji jest niezbędne do ustalenia sposobu rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych, np. grypy. Uczniowie powinni zwrócić szczególną uwagę na interakcje społeczne, w które wchodzą, oraz zapoznać się z badaniami, dzięki którym można określić dynamikę występowania chorób.

Zadania mają charakter interdyscyplinarny i przeznaczone są dla uczniów w wieku 12-15 lat, choć część zadań mogą wykonywać również młodsi lub starsi uczniowie. Zadania mogą być wykonywane w grupach o dowolnej wielkości, także z przeznaczeniem dla całej klasy. Do wykonania zadań potrzebne są wyłącznie slajdy, które można pobrać z sekcji zawierającej dodatkowe materiały ^w1, papier i kostka do gry.

Zadanie 1: Wstawanie z miejsca

To krótkie ćwiczenie angażujące całą klasę stanowi symulację roznoszenia choroby, której oznaką jest wstanie z miejsca. Celem ćwiczenia jest zaobserwowanie rozprzestrzeniania się choroby w klasie w tempie wykładniczym. Z każdym krokiem liczba zarażonych uczniów podwaja się (zob. ryc. 1). Uczniowie przekonają się, że potrzeba niewielu kroków, aby choroba rozprzestrzeniła się w populacji, która jest podatna na chorobę.

Uczniowie zauważą, że tempo, w jakim rozprzestrzenia się choroba, zależy od liczby osób podatnych na chorobę lub osób zarażonych. Należy jednak podkreślić, że jest to uproszczony model matematyczny do określania stopnia rozprzestrzeniania się choroby, gdyż zakłada on, że każdy jest podatny na zarażenie oraz że każda osoba zaraża dokładnie dwie osoby.

Sposób wykonania

1. Na początku cała klasa zajmuje pozycję siedzącą. Wybierz ochotnika, który będzie pierwszą osobą zarażoną.
2. Osoba ta powinna wstać i „zarazić” dwóch kolegów z klasy poprzez wskazanie na nich.
3. Wskazani uczniowie również wstają, ponieważ zostają zarażeni.
4. Każdy z zarażonych uczniów zaraża kolejne dwie osoby w klasie, i tak dalej – aż do momentu, gdy cała klasa znajduje się w pozycji stojącej.
5. Zapytaj uczniów, w ilu krokach klasa została zarażona.

Dyskusja

• Poproś uczniów, aby oszacowali, ile kroków potrzeba, aby zarazić ich szkołę, miasto, kraj lub cały świat. Potrzeba około 33 kroków, aby zarazić świat liczący 8,5 miliarda ludzi (ponieważ w n-tym kroku jest 2ⁿ nowych przypadków choroby).
• Co stałoby się, gdyby każda osoba wskazała 3 lub 4 osoby zamiast 2?
• Co na tej podstawie można powiedzieć o sposobie rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych?
• Jakie są ograniczenia tej symulacji?

Wartość R₀ i struktura sieci

Wartość R₀ (inaczej określana jako stopa reprodukcji) to miara stosowana w epidemiologii, wskazująca średnią liczbę ludzi, które zaraża osoba zarażona w okresie zarażania (przy założeniu, że nikt w populacji nie jest odporny na chorobę). Jeśli wartość R₀ jest większa od jedności, choroba rozprzestrzeni się w populacji. Jeśli wartość R₀ jest mniejsza od jedności, liczba przypadków choroby będzie się zmniejszać i ognisko choroby wygaśnie.

R₀ zależy od tego, jak długo zarażony jest pacjent, od liczby ludzi w populacji podatnych na chorobę oraz od sposobu roznoszenia choroby. Choroby przenoszone drogą kropelkową, takie jak odra, mają zasadniczo większy współczynnik R₀ niż choroby przenoszone przez płyny ustrojowe, takie jak Ebola.

Epidemiologów interesuje nie tylko to, ile ludzi dana osoba może zarazić (R₀), ale również sposób rozprzestrzeniania się choroby w populacji. Dlatego ważne jest poznanie dynamiki danej społeczności lub populacji. W tym celu obserwuje się, w jaki sposób ludzie wchodzą między sobą w interakcję: kto z kim ma styczność i jak często. Opierając się na modelowaniu matematycznym, informacje te wykorzystuje się przy symulacji, która ma wyjaśnić, w jaki sposób choroba rozprzestrzeniła się w populacji. Ma to duże znaczenie dla badań zdrowotnych, gdyż umożliwia ustalenie osób, które mogły zostać zarażone. Poza tym można wskazać, które z zachowań społecznych mogą wymagać zmian w momencie wybuchu epidemii, np. izolacja lub kwarantanna.

Pomimo że Ebola ma tak samo niski współczynnik R₀ jak grypa, w Afryce Zachodniej szybko wybuchła epidemia z wysokim wskaźnikiem śmiertelności – pomimo że wysoka śmiertelność zazwyczaj powoduje zmniejszenie rozprzestrzeniania się choroby, gdyż ludzie umierają zbyt szybko, aby zarazić dużą grupę. Co w takim razie było główną przyczyną wybuchu epidemii?

Epidemia została wywołana częściowo przez przypadek; pierwszy zarażony człowiek był uzdrowicielem w Sierra Leone, a na jego pogrzeb przybyły tłumy ludzi (Freiberger, 2015). Tradycja kulturowa, zgodnie z którą przed pochówkiem ciało zmarłego się myje, doprowadziła do wzmożonego roznoszenia choroby. Ludzie, którzy dotykali zarażone ciało, przenosili później chorobę w inne miejsca, do których się udawali. Epidemia była także spowodowana słabą kondycją systemu zdrowotnego, który nie był w stanie wprowadzić kontroli zakażeń. 

Przykład ten pokazuje, że wartość czynnika R₀ patogenu może być inna dla różnych przypadków epidemii. Przykładowo, należy oczekiwać, że wybuch epidemii grypy w grupie 4- i 5-latków będzie miał inny przebieg niż w grupie 10- i 11-latków. Ryc. 2 obrazuje wzajemne interakcje pomiędzy poszczególnymi osobami w obu grupach wiekowych w wybranym dniu w szkole. W młodszej grupie wiekowej zachodzi na ogół mniej interakcji z udziałem wielu osób niż w starszej grupie, w przypadku której wyraźnie widać, że istnieje podział na dwie większe podgrupy ze względu na płeć. Węzły bez wskazanych interakcji pokazują, że uczeń był w danym dniu nieobecny.

Zadanie 2: Ranking R₀

Sposób wykonania

1. Poproś uczniów, aby w małych grupach ułożyli pięć chorób zakaźnych (wścieklizna, grypa, Ebola, ospa wietrzna i odra) w takiej kolejności, w jakiej według nich rośnie wartość stopy reprodukcji dla poszczególnych chorób. Następnie pokaż wartość R₀ dla każdej choroby (odpowiednio: 0, 1–2, 1–2, 10, 16–18) – czy wartości są zgodne z oczekiwaniami uczniów?

Dyskusja

• Czy istnieje związek pomiędzy nasileniem objawów a wartością R₀?
• Co można powiedzieć o chorobach z wysokim współczynnikiem R₀ (np. odra i ospa wietrzna) – dlaczego jego wartości są tak duże?
• Dlaczego wartość R₀ dla wścieklizny wynosi 0? Nieznane są przypadki przenoszenia choroby z człowieka na człowieka.
• Dlaczego Ebola jest powodem do obaw, skoro ma niską wartość R₀?
• Dlaczego wartość R₀ tego samego patogenu może być inna dla różnych przypadków epidemii?

Zadanie 3: Porównanie struktur sieci

Sposób wykonania

1. Zaprezentuj w klasie schematy ^w1 dwóch różnych sieci społecznych: jeden dotyczący 4- i 5-latków, a drugi – 10- i 11-latków (zob. ryc. 2). Zapytaj, czym według nich różnią się te schematy.
2. Omów, dlaczego schematy te mogą się zmieniać z biegiem czasu.

Dyskusja

• W jaki sposób / dlaczego sieci społeczne dla 4- i 5-latków oraz 10- i 11-latków ulegają zmianie?
• Czy należałoby oczekiwać, że sieć ponownie zmieni się w przypadku 16-latków? Co w przypadku osób dorosłych?

Zadanie 4: Rozprzestrzenianie się choroby w strukturze sieci

Sposób wykonania

1. Podziel klasę na pary lub małe grupy. Każda grupa dostaje kartkę ze schematem sieci społecznej ^w1 (ryc. 3) oraz kostkę do gry.
2. Na początku każda osoba jest podatna na chorobę; wybierz jeden punkt na schemacie sieci, aby stać się pierwszą zarażoną osobą.
3. Prześledź kolejno kontakty zarażonej osoby. Dla każdego kontaktu rzuć kostką; jeśli wypadnie 1 lub 2, dana osoba zostaje zarażona. Osoby, które uzyskają jakąkolwiek inną liczbę oczek, są odporne.
4. Wykonaj te czynności także dla nowych przypadków zarażeń – aż do momentu, gdy dla kontaktów wszystkich zarażonych osób zostanie ustalona liczba oczek.
5. Policz, ile jest przypadków zachorowań w grupie oraz ile w sumie kroków było potrzeba, aby doprowadzić do wszystkich zarażeń.
6. Wykonaj ćwiczenie kilkukrotnie, na początku wybierając zawsze inny punkt sieci. Za każdym razem zapisz liczbę przypadków zachorowań.

1. Zebrane dane mogą zostać wykorzystane do dalszej analizy, np. do wyliczenia średniej, mediany, dominanty i rozkładu. Poproś uczniów o narysowanie wykresów (np. ryc. 4) i omów dane w poszczególnych grupach – lub na forum klasy. 

Dyskusja

• Dlaczego zarażamy tylko te punkty sieci, dla których wypadnie na kostce 1 lub 2?
• Co stałoby się, gdybyśmy założyli, że do zarażenia dochodzi przy wyrzuceniu 1, 2, 3 lub 4 oczek?
• Co dzieje się, gdy przyjmuje się inny punkt startowy na sieci?
• Dlaczego rozmiary epidemii są inne dla każdej symulacji?

Zadanie dodatkowe: program szczepień

Nad tymi pytaniami uczniowie mogą zastanowić się samodzielnie, a następnie podzielić się swoimi przemyśleniami z klasą:

• Kogo z sieci należałoby zaszczepić?
• Kogo należałoby wyznaczyć do szczepienia, posiadając wyłącznie 2 lub 3 dawki szczepionki dla danej sieci? Dlaczego?
• Czy powinno się chronić ludzi z największą liczbą powiązań czy może należy skupić się na przerwaniu sieci w konkretnych miejscach?

Podziękowanie

Zadania szkoleniowe z niniejszego artykułu pochodzą z serii NRICH ^w2 Disease Dynamics. W serii tej dostępne są także dodatkowe zadania obrazujące, w jaki sposób można wykorzystać matematykę do lepszego zrozumienia epidemii, interakcji społecznych i szczepień.