Matemáticas con fruta Teach article

Diviértase con la fruta mientras ayuda a sus estudiantes a conocer los conceptos de área y volumen, y aprenda más sobre sus aplicaciones en el mundo real.

A menudo es fácil estimar el área de una superficie plana, pero la mayoría de las cosas en el mundo no son planas. Las actividades descritas en este artículo brindan a los estudiantes la oportunidad de pensar en áreas y volúmenes de algunos alimentos habituales cuya forma es irregular : frutas y verduras.

Los materiales de estas actividades son fáciles de encontrar y también muy familiares, lo cual nos permite relacionar las ecuaciones matemáticas  con algunas situaciones que encontramos en la vida diaria. Al usar frutas y verduras de formas similares, podemos mostrar cómo las dimensiones lineales, las áreas y los volúmenes cambian de diferentes maneras a medida que cambiamos la escala de estas estructuras.

Las actividades, que se presentaron en el festival Science on Stage  2019, son muy adecuadas para estudiantes de 11 a 14 años como una extensión y aplicación de las matemáticas de las figuras geométricas a la vida cotidiana. Las actividades 1 y 2 también se pueden utilizar para presentar los temas de área y volumen a los alumnos más pequeños de una manera muy concreta.

Los estudiantes pueden trabajar en parejas para las actividades, que se pueden completar en dos clases de una hora.

Actividad 1: Medida del área de tu mano

En esta sencilla actividad, los estudiantes usan papel cuadriculado para encontrar el área de superficie aproximada de un objeto irregular: la palma de su propia mano.

Materiales

Cada pareja de estudiantes necesitará:

• Algunas hojas de papel cuadriculadas con cuadrados de 1 cm de lado.
• Dos rotuladores de diferentes colores

Procedimiento

1. Comience pidiendo a los estudiantes que estimen el área de la superficie en cm² (o el número de cuadrados) y anoten su resultado. Al final de la actividad, pueden revisar y ver  qué tan cerca estuvo su estimación al valor real.
2. Pida a los estudiantes que coloquen una mano sobre el papel cuadriculado y que usen la otra para dibujar el contorno a su alrededor con uno de los rotuladores (figura 1).

3. Para calcular el área, primero cada estudiante debe contar solo los cuadrados enteros que se encuentren completamente dentro del contorno.
4. Luego, cuenten todos los cuadrados enteros que están total o parcialmente dentro del contorno. Pueden usar un color de rotulador diferente para dibujar los contornos de los diferentes métodos de conteo (figura 2).
5. Calculen el promedio entre las dos áreas obtenidas (sumando el número de cuadrados y dividiendo por 2). Este número es bastante cercano a la superficie real de la palma.
6. Los estudiantes pueden comparar después esta cifra con la que estimaron al principio.

Discusión

Utilice las siguientes preguntas para revisar los resultados de los alumnos:

• En relación con el área de la superficie de la palma de la mano ¿hay mucha diferencia entre las estimaciones hechas al inicio de la actividad y las medidas realizadas al final?
• ¿Qué estudiante hizo la mejor suposición? ¡Pueden  hacer una pequeña competencia!

Actividad 2: Medida de la superficie y del volumen de la fruta

En esta actividad, los estudiantes miden el diámetro, la superficie y el volumen de algunos objetos más irregulares: frutas y verduras. Esto proporciona la base para un razonamiento más matemático de áreas y volúmenes para estudiantes mayores en la actividad 3.

Materiales

Cada pareja de estudiantes necesitará los materiales siguientes:

• Dos frutas o verduras que se pelen fácilmente, con formas similares pero tamaños diferentes: una pieza debe tener un diámetro aproximadamente el doble que la otra (por ejemplo, una naranja y una mandarina, una manzana grande y una pequeña, o patatas grandes y pequeñas de una forma similar)
• Pelador
• Algunas hojas de papel cuadriculado de 1 cm²
• Rotulador
• Recipiente de plástico alto
• Agua
• Jarra de medición
• Calibre (o una regla)
• Opcional: film transparente para envolver alimentos (para cubrir el papel cuadriculado y mantenerlo seco durante las actividades)

Procedimiento

Los estudiantes deben realizar todos los pasos indicados más abajo. Es mejor comenzar por encontrar diámetros y volúmenes, ya que estos se pueden medir con la fruta entera, mientras que para calcular el área de su superficie la fruta tiene ser pelada, lo que reduce su volumen.

Para calcular los diámetros

1. Mida el diámetro de cada pieza de fruta o verdura con un calibrador (figura 3) y anote su valor.
2. Si solo tiene una regla, coloque el artículo entre dos objetos en forma de cuboide (como libros de bolsillo, cajas de pañuelos o cajas de zapatos) dispuestos de manera que queden paralelos y toquen el artículo, luego mida la distancia entre los objetos.

Para calcular los volúmenes

1. Antes de pelar las frutas o verduras, coloque la pieza dentro de un recipiente que la contenga.
2. Agregue suficiente agua para cubrir la pieza, empújela hacia abajo con un tenedor (o bolígrafo) para que quede completamente sumergida. Marque el nivel de agua alcanzado (figura 4, izquierda).
3. Retire la pieza y marque el nivel de agua, ahora será más bajo (figura 4, derecha).
4. Luego ponga un poco de agua en la jarra medidora y anote el volumen. Vierta agua de la jarra medidora en el recipiente alto para alcanzar el nivel más alto (con la fruta sumergida) previamente marcado y anote el nuevo volumen reducido en la jarra medidora.
5. Para encontrar el volumen de la fruta, reste el volumen de la segunda jarra medidora del primer volumen. Esta es la cantidad de agua que se agrega para reemplazar el volumen de la fruta.
6. Haga lo mismo con la otra fruta o verdura (más pequeña o más grande) y registre el volumen de cada artículo.

Para calcular las áreas de las superficies

1. 1. Pele la fruta o verdura grande con mucho cuidado, para obtener tiras lo más largas y anchas posible.
   2. Coloque todas las tiras de piel sobre el papel cuadriculado, colocando los bordes de las piezas lo más cerca posible entre sí para evitar espacios vacíos.
   3. Con un rotulador, dibuje una línea cercana al contorno de la forma creada (figura 5).
   4. Haga lo mismo con la fruta o verdura más pequeña. Tenga cuidado de mantener todos los trozos de piel de una pieza separados de los trozos de la otra pieza.
   5. Cuente los cuadrados cubiertos por la cáscara de cada fruta o verdura y anote este número en el papel cuadriculado. Esta es el área de la superficie en cm².

Resultados

Anotar todas las medidas en una simple tabla, similar a la tabla 1.

Tabla 1: Medidas del diámetro, área de la superficie y del volumen de la fruta

Discusión

En esta actividad, los estudiantes descubren una forma de medir las áreas de las superficies de objetos (como frutas) que no son planas: pelándolos. Puede pedirles que piensen en otras formas de medir áreas, longitudes y volúmenes de objetos de forma irregular. Por ejemplo, podrían hacer cuadrados con cinta adhesiva y cubrir parte de su cuerpo (por ejemplo, su antebrazo) para medir su área con los cuadrados. ¿Pueden pensar en otros ejemplos?

Los estudiantes también pueden comenzar a comprender cómo cambian las áreas y los volúmenes en relación con la longitud o el diámetro de la fruta. Pídales que consideren: ¿cómo se duplica el área de la superficie y el volumen de la fruta cuando se duplica el diámetro (u otras dimensiones lineales como el largo o el ancho)? De sus medidas (tabla 1), debe quedar claro que duplicar el diámetro de una fruta aumenta la superficie y el volumen en factores que son mucho mayores que el doble, aunque las medidas sean aproximadas.

Los estudiantes investigarán esta cuestión con más detalle en la próxima actividad.

Actividad 3: Comparar el área y el volumen de la fruta

En esta actividad, los estudiantes descubren cómo el área y el volumen de un objeto cambian cuando aumentan sus  medidas lineales. Los estudiantes de los cursos superiores también pueden explorar cómo las fórmulas matemáticas para el área de la superficie y el volumen de sólidos regulares pueden relacionarse con objetos reales de forma irregular, como frutas, si ya están familiarizados con estas fórmulas (Parte 2).

Materiales

• Juegos de cubos entrelazados de 1 cm de lado (por ejemplo, Regoliâ, MathLink Cubesâ)
• Papel cuadriculado
• Algunas frutas de diferentes formas (por ejemplo, naranja, manzana, pera)
• Como referencia, fórmulas matemáticas de áreas de las superficies de sólidos regulares (cubos, esferas, conos, cilindros, etc.)

Procedimiento

Parte 1: Modelo con cubos unitarios

1. Los estudiantes deben seguir los pasos indicados a continuación. Pueden trabajar individualmente o en grupos, dependiendo de cuántos conjuntos de cubos unitarios estén disponibles.
2. Utilizando los cubos unitarios, construir varios cubos con lados de 1, 2, 3 y 4 cubos unitarios.
3. Cuente el área de la superficie de cada cubo y anote esto y la longitud del lado en una tabla (tabla 2)
4. Calcule el volumen usando la fórmula l³ (l x l x l) donde l es la longitud del lado,  anótelo en la tabla.
5. Ahora verifique este resultado desarmando el cubo y contando el número de cubos unitarios.
   Tabla 2: Valores de longitud del lado, área de la superficie y volumen para cubos de tamaño creciente

   Longitud del lado del cubo (cm)	Área de la base del cubo (cm2)	Área total de la superficie del cubo (cm2)	Volumen del cubo (cm3)
   1	1	6	1
   2	4	24	8
   3	9	54	27
   4	16	96	64

6. Trace dos gráficas usando los valores de la tabla 2: represente la longitud del lado del cubo en el eje x y el área de superficie total y el volumen en el eje y. ¿Qué observa acerca de cómo aumentan (i) el área de la superficie y (ii) el volumen en relación con la longitud del lado?

Parte 2: Cálculos de frutas y sólidos regulares

1. Elija dos frutas (por ejemplo, naranja y pera). Pensando en sólidos de geometrías regulares (por ejemplo, esferas, cilindros, conos), averigüe cómo modelar la forma aproximada de su fruta usando combinaciones de sólidos regulares diferentes (figura 7).
2. Utilice las fórmulas de estos sólidos para estimar el área de la superficie y el volumen de la fruta. Puede usar el método de la actividad 2 para calcular la longitud y / o el diámetro de su fruta.

Discusión

Las siguientes preguntas se pueden utilizar para ayudar a los estudiantes a reflexionar  sobre lo que han aprendido en las actividades:

• Cuando la longitud de los lados de un cubo se duplica, ¿qué sucede con el área de su superficie?
• Cuando la longitud de los lados de un cubo se duplica, ¿qué sucede con su volumen?
• Revise los resultados de la actividad 2. ¿Crees que los valores que obtuviste coinciden aproximadamente con estas reglas?
• ¿Cómo aumentarían el área de la superficie y el volumen de un cubo si la longitud de sus lados se triplicara?
• Para los cubos, ¿qué forma tienen las gráficas del (i) área de la superficie y del (ii) volumen respecto de la longitud del lado?
• ¿Cuáles son las fórmulas matemáticas para estas formas?
• ¿Cómo crees que aumentan el área de la superficie y el volumen con el tamaño para otras formas geométricas, por ejemplo: esferas (en relación a su diámetro) o conos (en relación a su base y altura)?
• ¿En qué medida coinciden tus valores calculados con los valores reales del área de la superficie y el volumen de la fruta de forma irregular de la actividad 2?

Al observar la tabla de valores de los cubos (tabla 2), los estudiantes pueden verificar que el área de una cara del cubo (y el área de la superficie total)  aumenta de acuerdo con el cuadrado de la longitud del lado (l²), mientras que el volumen crece de acuerdo con el cubo de la longitud del lado (l³), por lo que el volumen crece más rápido que el área de la superficie en relación con el aumento de la longitud del lado.

En las gráficas, los estudiantes pueden ver que la gráfica del área respecto de la longitud del lado forma una parábola (relación cuadrática), mientras que la del volumen respecto de la longitud del lado forma una curva cúbica (relación cúbica).