Ebola med tal: at bruge matematik for at tackle epidemier Understand article

Oversat af: Jørgen Wilhelmsen. At undersøge hvordan infektionssygdomme spredes kan se ud som om, det kun handler om medicin – men at undersøge antallet af tilfælde i detaljen kan også give os mange oplysninger.

Under den seneste Ebola epidemi i Vestafrika begyndte lufthavne i USA og Europa at screene rejsende fra høj risiko områderne for Ebola symptomer herunder en hævet legemstemperatur. Dette så ud som en rimelig forholdsregel – men en ny undersøgelse baseret på beregninger af kendte fakta om sygdommen viste at screeningen sandsynligvis aldrig kunne blive effektiv.

Undersøgelsen, publiseret i “British Medical Journal (Mabey et al. 2014)”fandt at: ”en adgangs screenings politik ikke vil have nogen rimelig effekt mht. risikoen for import af Ebola til UK”. Forfatternes argumentation er lige ud af landevejen: Antag at en rejsende allerede viser Ebola symptomer ved afrejsen og forhindres i at boarde et fly, i forhold til en anden passager, som ikke er syg ved afrejsen, men som så senere vil blive diagnosticeret ved ankomsten, da vil passageren have udviklet symptomerne på selve flyvningen. Fordi den gennemsnitlige inkubationstid for sygdommen er temmelig lang (omkring en uge), så vil sandsynligheden for at en person bliver opdaget som ebolapatient på denne måde være lav – ikke mere end 13% i bedste fald. Idet lufthavns screening er kostbar foreslår forfatterne at pengene ville være bedre brugt i Afrika for at forhindre en omfattende og skræmmende humanitær krise.

Basal matematik

Meget kan man finde ud af ved hjælp af basal matematik – men man skal altid være omhyggelig med at bestemme, hvilke tal man vil bruge. Tidligt under Ebola epidemien regnede man med at døds raten var omkring 50% – et tal der blev beregnet ved at dividere antallet af døde med antallet af rapporterede tilfælde. Men denne metode tog ikke hensyn til det faktum, at de personer, der var i live men smittede, ville dø af sygdommen. Dette førte til en undervurdering af den reelle døds rate.

“Denne fejl skete ofte, og (50% tallet) blev ofte citeret,” udtaler Adam Kucharski fra UK’s London School of Hygiene and Tropical Medicine, en kollega til forfatterne af undersøgelsen om lufthavns screeningen. ”Ved en meget simpel analyse forsøgte jeg selv og min kollega at justere estimatet. Vi fandt ud af at døds raten sandsynligvis er omkring 70%, hvilket senere kliniske studier er enige i.”

Et meget vigtigt tal ved starten af en epidemi er det basale reproduktions tal, almindeligvis betegnet med R0. Dette tal måler det gennemsnitlige antal af mennesker, som en inficeret person vil smitte, under den forudsætning at ingen i befolkningen er immune overfor sygdommen. I Ebolas tilfælde blev R0 ved starten af sygdomsudbruddet estimeret til at være mellem 1,5 og 2, hvilket er et tal som ligner tallet for en influenza epidemi. Mæslinger, en luftbåren og meget smitsom sygdom, har en R0 på omkring 18.

Igen, vil noget basal matematik være en hjælp til at give en grov ide om, hvor hurtigt en infektionssygdom vil spredes. Hvis en sygdom har en R0 værdi på 2 og en tilfældig inficeret person smitter 2 andre i løbet af 2 uger efter personen selv fik sygdommen, som så sammen inficerer 4 andre i de næste to uger osv. Dette er en eksponentiel vækst, som stiger meget hurtigt: efter blot 20 uger vil sygdommen have inficeret:

1 + 2 + 4 + 8 + … + 210 = 2047 mennesker

Denne model over-simplificerer selvfølgelig. Selv om man ofte ser en eksponentiel vækst ved en epidemis start, så har epidemiologer mere sofistikerede modeller til at forudsige en epidemis spredning. (se Keeling, 2001, og Kucharski, 2011). Imidlertid kan vi nemt se betydningen af R0: Den same beregning for mæslinger vil have den samlede befolkning i verden inficeret indenfor 16 dage.

R0 er kun en gennemsnitlig værdi målt i hele populationen, så det næste må være at forstå, hvorledes denne værdi varierer. For eksempel foreslår (Yamin et al, 2015) at patienter med Ebola bliver mere smittefarlige i de senere stadier af infektionen, så at placere patienter i isolation i disse sene stadier – og selv efter døden, når kroppen bliver forberedt til at blive begravet – vil have en større effekt end at undersøge dem for infektionen tidligere i forløbet.

Tilfældighed og usikkerhed

Selvfølgelig er tilfældighed en vigtig faktor – specielt i begyndelsen af et udbrud. Den første patient i Sierre Leone, hvor mange tusinde døde, var tilfældigvis en traditionel medicinmand (healer). Hvis begravelse tiltrak en stor folkemængde. De mennesker der berørte healerens inficerede krop tog sygdommen med, når de rejste videre.

“I de situationer hvor der er et meget lille antal syge kan en bestemt hændelse, der finder sted, betyde at vi får et meget anderledes udbrud,” udtaler Adam Kucharski. Atter er R0 , det basale reproduktionstal, en vigtig faktor i forhold til hvad der sandsynligvis sker. Sandsynligheden for at et sygdomsudbrud vil udvikle sig til en større epidemi kan beregnes til at være 1-1/R0 (i Kucharski 2011). Med en R0 på mellem 1,5 og 2 for Ebolas vedkommende, så vil risikoen blive et sted mellem 1/3 og ½ dvs. mellem 33 – 50%, Vi må siges at have være en smule uheldige.

Der er andre type typer af usikkerhed når det drejer sig om at forudsige forløbet af en sygdom eller betydningen af forholdsregler mod sygdommen. Der kan være en mangel ved modellen, eller en oprindelig usikkerhed med en vigtig parameter, som R0, der kan vokse, når modellen simulerer begivenheder længere ude i fremtiden. Kendt som sommerfugle effekten er dette grunden til hvorfor mange fænomener, som fx vejret eller aktie markedet er så vanskelige at forudsige.

Så hvordan kan vi håndtere sådanne usikkerheder? ”Jeg tror at modelbyggere sommetider skal være ydmyge og fastslå at de ikke kan forudsige så langt ude i fremtiden,” siger Adam K. ”Folk kan lide at få et bestemt tal; journalister specielt er ivrige efter at skrive om dem. Men som ved alle forudsigelser er det, at offentliggøre blot et enkelt tal en farlig sag.

Undertiden er resultatet af en undersøgelse dog ret overbevisende, på trods af en indbygget usikkerhed – undersøgelsen om effektiviteten af lufthavns screeningen fx ”Introduktionen af disse screeninger var i høj grad en politisk, og ikke en videnskabelig beslutning”, konkluderer Adam K. Vi kan alle blive styret af vores angst, men forudsigelserne af en nøje afprøvet, evidens-baseret matematisk model er sandsynligvis en bedre rettesnor for handling.

Acknowledgement

Denne artikel blev oprindelig publiseret i en længere form i Plus magazine^w1, et gratis online magasin som åbner dørene til en matematisk verden med al dens skønhed og til matematiske anvendelser.

Download

Download this article as a PDF