Matematica con la frutta Teach article

I vostri studenti potranno usare la frutta per esplorare in modo divertente i concetti di area e volume e imparare qualcosa di più sulle loro applicazioni nel mondo reale

Spesso è facile fare una stima dell’area di una superficie piana, ma molti oggetti che ci circondano non sono piatti. Le attività che proponiamo permettono agli studenti di focalizzare l’attenzione su area e volume di oggetti della vita quotidiana di forma irregolare, come frutta e vegetali.

I materiali usati sono facilmente reperibili nel quotidiano, perciò è facile scoprire il legame tra la matematica e la vita di ogni giorno. Se usiamo frutta e vegetali con la stessa forma ma diverse dimensioni, possiamo mostrare come le dimensioni lineari, le aree e i volumi cambiano in modo diverso quando ingrandiamo o rimpiccioliamo le strutture.

Le attività, che abbiamo presentato al Festival Science on Stage 2019, sono molto adatte per studenti dagli 11 ai 14 anni come estensione e applicazione della geometria nel quotidiano. Le attività 1 e 2 possono anche essere utilizzate per presentare in maniera molto concreta i concetti di area e volume agli studenti più giovani.

Durante l’attività, che può essere svolta in un paio d’ore, gli studenti possono lavorare a coppie.

Attività 1: Misurare l’area del palmo della mano

In questa semplice attività gli studenti usano carta quadrettata per misurare l’area di una forma irregolare, come il palmo della propria mano

Materiali

Per ogni coppia di studenti sono  necessari:

• Alcuni fogli di carta quadrettata
• Due pennarelli di diverso colore

Procedimento

1. Chiedere agli studenti di indovinare l’area del palmo della propria mano in cm² (o in numero di quadretti) e trascriverla. Alla fine dell’attività potranno controllare quanto si sono avvicinati alla loro stima.
2. Fare appoggiare una mano sul foglio quadrettato e con l’altra tracciarne il contorno con la penna (figura 1).

3. Per calcolare l’area, occorre prima contare solo i quadretti interi che si trovano completamente dentro il contorno (linea arancio, figura 2).
4. Poi si contano tutti i quadrati che sono del tutto o parzialmente dentro il contorno (linea rossa, figura 2).
5. Calcolare la media tra i due valori conteggiati (sommando i due numeri e dividendo per 2). Il numero trovato è abbastanza vicino al valore reale dell’area della superficie.
6. Gli studenti possono confrontare questo numero con quello stimato inizialmente.

Discussione

Attraverso queste domande si possono controllare i risultati degli studenti:

• C’è molta differenza tra il valore della superficie stimato all’inizio e quello calcolato alla fine dell’attività?
• Quale studente ha fatto la stima migliore? Si può fare una piccola competizione!

Attività 2: Misurare l’area della superficie e il volume della frutta

In questa attività gli studenti misurano il diametro, l’area della superficie e il volume di oggetti di forma irregolare: frutta e ortaggi. Ciò fornisce una base per considerazioni di carattere più strettamente matematico su area e volume per gli studenti più grandi nell’attività 3

Materiali

Per ogni coppia di studenti sono necessari:

• Due frutti o ortaggi facilmente sbucciabili, con la stessa forma ma diversa grandezza: uno potrebbe avere il diametro circa il doppio dell’altro (per es. un’arancia e una clementina, una mela grande e una piccola, una patata piccola e una grande dalla forma simile)
• Pelapatate
• Alcuni fogli di carta quadrettata
• Pennarello
• Contenitore di plastica alto
• Acqua
• Caraffa graduata
• Calibro (o righello)
• Opzionale: pellicola trasparente (per coprire la carta quadrettata e mantenerla asciutta durante l’attività)

Procedimento

Gli studenti dovrebbero eseguire i seguenti passaggi. È meglio misurare prima i diametri e i volumi poiché è necessario avere il frutto intero, mentre è necessario sbucciare il frutto per misurare l’area della superficie, e ciò ridurrebbe il volume.

Come misurare i diametri

1. Misurare il diametro di ogni frutto/ortaggio usando un calibro (figura 3) e annotarlo.
2. Se avete un righello, posizionate il frutto tra due oggetti a forma di parallelepipedo (come scatole di scarpe o simili) e avvicinateli in modo che siano paralleli tra loro e che tocchino il frutto. Misurare col righello la distanza tra le due scatole.

Come misurare i volumi

1. Prima di sbucciare il frutto o l’ortaggio sistemarlo dentro a un contenitore alto.
2. Aggiungere abbastanza acqua da ricoprire il frutto, spingendolo giù con una forchetta (o una penna) finché non sia completamente ricoperto dall’acqua. Segnare il livello d’acqua raggiunto (figura 4, sinistra)
3. Rimuovere il frutto e segnare il livello d’acqua, ora più basso (figura 4, destra).
4. Versare dell’acqua nella caraffa graduata e annotare il volume, poi travasare lentamente l’acqua nel contenitore alto fino a raggiungere il livello più alto segnato precedentemente. Annotare il livello d’acqua rimasto nella caraffa.
5. Eseguire la differenza tra il primo volume segnato nella caraffa e il volume rimasto in essa: questa quantità di acqua corrisponde al volume del frutto.
6. Ripetere lo stesso procedimento con il frutto o l’ortaggio (più grande o più piccolo) annotando i rispettivi volumi.

Come misurare l’area della superficie

1. Sbucciare attentamente il frutto /ortaggio in modo da ottenere delle strisce più larghe e lunghe possibile.
2. Distendere le strisce di buccia sulla carta quadrettata una vicina all’altra, evitando il più possibile spazi vuoti.
3. Con un pennarello tracciare una linea chiusa intorno alla sagoma ottenuta (figura 5).
4. Ripetere il procedimento con il frutto più piccolo. Fare attenzione a tenere separate le strisce di buccia appartenenti ai diversi frutti.
5. Contare i quadretti coperti dalla buccia di ogni frutto e annotare il numero di quadretti. Questo valore rappresenta l’area della superficie in cm².

Risultati

Registra tutte le misure effettuate in una semplice tabella (vedi Tabella 1)

Discussione

Con questa attività gli studenti scoprono che è possibile misurare l’area della superficie di oggetti tridimensionali (frutta e ortaggi) semplicemente sbucciandoli. Domandate a loro: “Ci sono altri modi per misurare lunghezze, aree e volumi di oggetti di forma irregolare?” Per esempio possono ritagliare dei quadrati di nastro adesivo e con questi ricoprire parte del loro corpo (per es.  l’avambraccio) per misurarne l’area. Stuzzicate la loro fantasia per trovare altri esempi!

Gli studenti possono inoltre cominciare a capire come le aree e i volumi cambino in relazione alla lunghezza o al diametro del frutto. Provate a chiedere: “Cosa succede all’area della superficie e al volume del frutto quando il diametro (o altre dimensioni lineari) raddoppiano? Dalle misure raccolte in Tabella 1 risulta evidente che raddoppiando il diametro del frutto, l’area della superficie e il volume aumentano di un fattore maggiore di due, anche se le misurazioni sono approssimate.

Gli studenti potranno indagare più a fondo su questo quesito con la prossima attività.

Attività 3: Confrontare l’area e il volume dei frutti

In questa attività gli studenti scoprono come l’area e il volume di un oggetto cambiano quando le sue dimensioni lineari aumentano. Gli studenti più grandi, che hanno già confidenza con le formule matematiche dell’area e volume di solidi regolari, possono applicarle a oggetti reali con forme irregolari, come dei frutti (Parte 2).

Materiali

• Una serie di cubetti di lato 1x1cm (per es.: Regoli, Math Link Cubesa)
• Carta millimetrata
• Alcuni frutti di diverse dimensioni (per es.: arance, mele, pere)
• Formulario di matematica con aree e volumi di solidi regolari (cubi, sfere, coni, cilindri)

Procedimento

Parte 1: Costruire cubi di grandezza crescente

1. Gli studenti dovrebbero seguire i seguenti passaggi e possono lavorare individualmente o in gruppi a seconda di quanti cubetti disponiamo.
2. Usando i cubetti unitari, costruire dei cubi con lo spigolo di 1,2,3 e 4 unità.
3. Contare l’area della superficie di ogni faccia e della area totale del cubo e annotare i valori come in Tabella 2.
4. Calcolare il volume usando la formula l ³ (l x l x l) in cui l è lo spigolo di base e riportarne i valori in tabella.
5. Confrontare questo risultato ottenuto contando il numero dei cubetti unitari che formano ogni cubo.
   

   Tabella 2: Valori lineari, area della superficie e volume dei cubi di dimensioni crescenti

   Lunghezza dello spigolo del cubo (cm)	Area della superficie di base del cubo (cm2)	Area della superficie totale del cubo (cm2)	Volume del cubo (cm3)
   1	1	6	1
   2	4	24	8
   3	9	54	27
   4	16	96	64

6. Tracciare due grafici su carta millimetrata utilizzando i valori della Tabella 2: sull’asse delle x inserire la lunghezza dello spigolo di base e sull’asse delle y l’area della superficie totale o il volume. Cosa si osserva confrontando come aumentano l’area della superficie (i) e il volume (ii) in relazione allo spigolo di base?

Parte 2: Frutti e solidi regolari a confronto: un po’ di calcoli

1. Prendere due frutti, per es. un’arancia e una pera. Osservando dei solidi geometrici regolari (per es. sfere, cilindri, coni) pensa a quale forma assomiglia il tuo frutto usando combinazioni di diversi solidi regolari (figura 7).

2. Usare il formulario di questi solidi per calcolare l’area della superficie del frutto. Puoi usare il metodo descritto nell’attività 2 per misurare il diametro e la lunghezza del frutto.

Discussione

Le domande seguenti possono essere usate per aiutare gli studenti a riflettere su ciò che hanno imparato nelle attività:

• Quando lo spigolo di base del cubo raddoppia, cosa succede all’area della superficie?
• Quando lo spigolo di base del cubo raddoppia, che succede al suo volume?
• Tornando indietro ai risultati dell’attività 2, pensi che i valori ottenuti si avvicinino abbastanza a queste regole?
• Come aumenterebbe l’area della superficie e il volume del cubo se lo spigolo di base triplicasse?
• Per i cubi, quale forma hanno i grafici dell’area della superficie (i) e del volume (ii) per determinati valori dello spigolo di base?
• Quali sono le formule matematiche relative ai grafici ottenuti?
• Come pensi che l’area della superficie e il volume aumentino in altri solidi, per es. sfere (in relazione al diametro) o coni (in relazione all’area di base e all’altezza)?
• Quanto questi valori “calcolati” sono vicini ai valori di area e volume dei frutti irregolari, sperimentati nell’attività 2?

Guardando la Tabella 2 gli studenti possono verificare che l’area di una faccia del cubo (e l’area della superficie totale) aumentano secondo il quadrato dello spigolo di base (l ²), mentre il volume aumenta secondo il cubo dello spigolo di base (l ³), pertanto il volume cresce più rapidamente dell’area della superficie, all’aumentare dello spigolo di base.

Dai grafici gli studenti possono vedere che la curva che rappresenta l’area rispetto allo spigolo di base è una parabola (relazione quadratica), mentre quella del volume rispetto allo spigolo di base è una curva cubica (relazione cubica)