Μαθηματικά με φρούτα Teach article

Διασκεδάστε με τα φρούτα βοηθώντας τους μαθητές σας να εξερευνήσουν τις έννοιες του εμβαδού και του όγκου, και να μάθουν περισσότερα για τις εφαρμογές τους στον…

Συχνά, είναι εύκολο να εκτιμηθεί το εμβαδό μιας επίπεδης επιφάνειας, αλλά τα περισσότερα πράγματα στον κόσμο δεν είναι επίπεδα. Οι δραστηριότητες που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο δίνουν στους μαθητές την ευκαιρία να προβληματιστούν σχετικά με το εμβαδό και τον όγκο σε σχέση με ορισμένα καθημερινά αντικείμενα ακανόνιστου σχήματος: φρούτα και λαχανικά.

Τα υλικά σε αυτές τις δραστηριότητες είναι εύκολο να βρεθούν και επίσης, είναι πολύ οικεία, δημιουργώντας έτσι τη σύνδεση μεταξύ μαθηματικών εξισώσεων και καταστάσεων που συναντώνται στην καθημερινή ζωή. Χρησιμοποιώντας φρούτα και λαχανικά παρόμοιου σχήματος, μπορούμε να δείξουμε πως οι γραμμικές διαστάσεις, τα εμβαδά και οι όγκοι αλλάζουν με διαφορετικούς τρόπους καθώς αυξάνονται οι δομές.

Οι δραστηριότητες, οι οποίες παρουσιάστηκαν στο Φεστιβάλ Science on Stage το 2019, είναι ενδεδειγμένες για μαθητές ηλικίας 11-14 ετών ως επέκταση και εφαρμογή των γεωμετρικών σχημάτων στην καθημερινή ζωή. Οι δραστηριότητες 1 και 2 μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να εισάγουν τις έννοιες του εμβαδού και του όγκου σε μικρότερους μαθητές με ένα πολύ συγκεκριμένο τρόπο.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν σε ζευγάρια για τις δραστηριότητες, οι οποίες μπορούν να ολοκληρωθούν σε δύο ωριαία μαθήματα.

Δραστηριότητα 1: Μέτρηση της επιφάνειας του χεριού σας

Σε αυτή την απλή δραστηριότητα οι μαθητές χρησιμοποιούν τετραγωνισμένο χαρτί για να βρουν κατά προσέγγιση το εμβαδό ενός ακανόνιστου αντικειμένου – την παλάμη του χεριού τους.

Υλικά

Κάθε ζευγάρι μαθητών θα χρειαστεί:

• Μερικά φύλλα χαρτιού με τετράγωνα 1 cm
• Δύο μαρκαδόρους διαφορετικών χρωμάτων

Διαδικασία

1. Ξεκινήστε ζητώντας απο τους μαθητές να μαντέψουν το εμβαδό της επιφάνειας σε cm² (ή τον αριθμό των τετραγώνων) και να σημειώσουν την εικασία τους. Στο τέλος της δραστηριότητας, μπορούν να την ελέγξουν ξανά και να δουν πόσο κοντά ήταν.
2. Ζητήστε απο τους μαθητές να τοποθετήσουν το ένα χέρι στο χαρτί, και χρησιμοποιώντας το άλλο χέρι να σχεδιάσουν το περίγραμμα με τη βοήθεια ενός μαρκαδόρου (εικόνα 1).

3. Για να βρουν το εμβαδό, κάθε μαθητής θα πρέπει πρώτα να μετρήσει μόνο τα ολόκληρα τετράγωνα που βρίσκονται μέσα στο περίγραμμα.
4. Μετά μετρούν όλα τα ολόκληρα τετράγωνα που βρίσκονται πλήρως ή μερικώς μέσα στο περίγραμμα. Μπορούν να χρησιμοποιήσουν ένα μαρκαδόρο διαφορετικού χρώματος για να σχεδιάσουν τα περιγράμματα των διαφορετικών μεθόδων μέτρησης (εικόνα 2).
5. Βρείτε τον μέσο όρο μεταξύ των δύο καταμετρημένων εμβαδών (προσθέτοντας τις τιμές μαζί και διαιρώντας με το 2). Αυτός ο αριθμός είναι αρκετά κοντά στην πραγματική τιμή του εμβαδού της παλάμης.
6. Οι μαθητές, στη συνέχεια, μπορούν να συγκρίνουν αυτόν τον αριθμό με αυτό που υπέθεσαν στην αρχή.

Συζήτηση

Χρησιμοποιήστε τις παρακάτω ερωτήσεις για να ελέγξετε τα αποτελέσματα των μαθητών σας:

• Υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ της υπόθεσης στην αρχή της δραστηριότητας και των τελικών τιμών που λήφθησαν για το εμβαδό της παλάμης;
• Ποιος μαθητής έκανε την καλύτερη υπόθεση; Μπορείτε να έχετε μια μικρή αναμέτρηση!

Δραστηριότητα 2: Μέτρηση του εμβαδού επιφάνειας και του όγκου του φρούτου

Σε αυτή τη δραστηριότητα, οι μαθητές μετρούν τη διάμετρο, το εμβαδό επιφάνειας και τον όγκο κάποιων πιο ακανόνιστων αντικειμένων: φρούτων και λαχανικών. Αυτό παρέχει μια βάση για μια πιο μαθηματικοποιημένη μελέτη των εμβαδών και των όγκων για μεγαλύτερους μαθητές στη δραστηριότητα 3.

Υλικά

Κάθε ζευγάρι μαθητών θα χρειαστεί τα ακόλουθα υλικά:

• Δύο τεμάχια από φρούτα ή λαχανικά που ξεφλουδίζονται εύκολα, με παρόμοια σχήματα αλλά διαφορετικών μεγεθών: το ένα τεμάχιο πρέπει να έχει διάμετρο περίπου διπλάσια από το άλλο. (π.χ. ένα πορτοκάλι και ένα μανταρίνι, ένα μεγάλο και ένα μικρό μήλο, μια μεγάλη και μια μικρή πατάτα παρόμοιου σχήματος)
• Αποφλοιωτή
• Μερικά φύλλα χαρτιού με τετράγωνα 1 cm
• Μαρκαδόρο
• Ψηλό πλαστικό δοχείο
• Νερό
• Ογκομετρικό δοχείο
• Παχύμετρο (ή ένα χάρακα)
• Προαιρετικά: διαφανή μεμβράνη περιτυλίγματος τροφίμων (για να καλύπτει το τετράγωνο χαρτί και να το διατηρεί στεγνό κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων)

Διαδικασία

Οι μαθητές θα πρέπει να ακολουθήσουν όλα τα παρακάτω βήματα. Καλύτερα είναι να ξεκινήσουν βρίσκοντας τις διαμέτρους και τους όγκους, καθώς αυτά μπορούν να μετρηθούν με ολόκληρα φρούτα, ενώ τα φρούτα πρέπει να ξεφλουδιστούν για να βρεθεί το εμβαδό επιφάνειας, το οποίο μειώνει τον όγκο τους.

Για να βρείτε τις διαμέτρους:

1. Μετρήστε τη διάμετρο κάθε φρούτου ή λαχανικού χρησιμοποιώντας παχύμετρα ( εικόνα 3) και σημειώστε.
2. Αν έχετε έναν μόνο χάρακα, τοποθετήστε το αντικείμενο ανάμεσα σε δύο κυβοειδή αντικείμενα (όπως χαρτόδετα βιβλία, κουτί χαρτομάντιλων ή κουτιά παπουτσιών) τοποθετημένα έτσι ώστε να είναι παράλληλα και να αγγίζουν το αντικείμενο, και μετά μετρήστε την απόσταση μεταξύ των αντικειμένων.

Για να βρείτε τους όγκους:

1. Πριν ξεφλουδίσετε τα φρούτα ή τα λαχανικά, βάλτε ένα είδος από αυτά σε ψηλό δοχείο
2. Προσθέστε αρκετό νερό ώστε να καλυφθεί το αντικείμενο, πιέζοντας το προς τα κάτω με ένα πηρούνι (ή στυλό) έτσι ώστε να καλυφθεί εντελώς με νερό. Σημειώστε που έχει φτάσει η στάθμη του νερού (εικόνα 4, αριστερά).
3. Αφαιρέστε το φρούτο, και σημειώστε τη χαμηλότερη στάθμη του νερού (εικόνα 4, δεξιά).
4. Στη συνέχεια βάλτε λίγο νερό στο ογκομετρικό δοχείο και σημειώστε τον όγκο. Ρίξτε νερό από το ογκομετρικό δοχείο στο ψηλό δοχείο για να φτάσει στο υψηλότερο επίπεδο (με το φρούτο βυθισμένο) που μετρήθηκε νωρίτερα, και σημειώστε τη νέα, μειωμένη τιμή στο ογκομετρικό δοχείο.
5. Για να βρείτε τον όγκο του φρούτου, αφαιρείτε τη δεύτερη μέτρηση του ογκομετρικού δοχείου από τον αρχικό όγκο. Αυτή είναι η ποσότητα του νερού που προστέθηκε για να αντικαταστήσει τον όγκο του φρούτου.
6. Ακολουθήστε την ίδια διαδικασία με το άλλο (μικρότερο ή μεγαλύτερο) είδος φρούτου ή λαχανικού, καταγράφοντας τον όγκο κάθε αντικειμένου.

Για να βρείτε τα εμβαδά επιφανειών:

1. Ξεφλουδίστε το μεγαλύτερο φρούτο ή λαχανικό πολύ προσεκτικά, για να πάρετε λωρίδες όσο το δυνατόν πιο μακριές και φαρδιές.
2. Τοποθετήστε όλες τις λωρίδες φλούδας στο τετράγωνο χαρτί, τοποθετώντας τις άκρες των κομματιών όσο πιο κοντά γίνεται μεταξύ τους για να αποφύγετε κενά.
3. Χρησιμοποιώντας έναν μαρκαδόρο, σχεδιάστε μια κλειστή γραμμή γύρω από το σχήμα που δημιουργήθηκε (εικόνα 5).
4. Κάντε το ίδιο με το μικρότερο φρούτο ή λαχανικό. Προσέξτε να κρατάτε όλα τα κομμάτια φλούδας του ενός φρούτου ξεχωριστά από το άλλο.
5. Μετρήστε τα τετράγωνα που καλύπτονται από τη φλούδα για κάθε φρούτο ή λαχανικό και καταγράψτε τον αριθμό στο τετραγωνισμένο χαρτί. Αυτό είναι το εμβαδό επιφάνειας σε cm².

Αποτελέσματα

Καταγράψτε όλες σας τις μετρήσεις σε έναν απλό πίνακα, παρόμοιο με τον πίνακα 1.

Συζήτηση

Σε αυτή τη δραστηριότητα, οι μαθητές ανακαλύπτουν έναν τρόπο μέτρησης του εμβαδού επιφάνειας των αντικειμένων (όπως τα φρούτα) που δεν είναι επίπεδα: ξεφλουδίζοντας τα. Μπορείτε να τους ζητήσετε να σκεφτούν άλλους τρόπους μέτρησης εμβαδών, μηκών και όγκων αντικειμένων με ακανόνιστο σχήμα. Για παράδειγμα, θα μπορούσαν να κάνουν τετράγωνα απο κολλητική ταινία και να καλύψουν μέρος του σώματος τους (πχ. τον πήχη τους) με τα τετράγωνα, για να μετρήσουν το εμβαδό του. Μπορούν να σκεφτούν άλλα παραδείγματα;

Οι μαθητές μπορούν ακόμη να αρχίσουν να κατανοούν πως τα εμβαδα και οι όγκοι μεταβάλλονται σε σχέση με το μήκος ή τη διάμετρο του φρούτου. Ζητήστε τους να σκεφτούν: πως μεταβάλλεται το εμβαδό επιφάνειας και ο όγκος του φρούτου όταν διπλασιάζετε τη διάμετρο (ή άλλη γραμμική διάσταση όπως το μήκος ή το πλάτος); Από τις μετρήσεις τους (πίνακας 1), θα πρέπει να είναι εμφανές ότι ο διπλασιαμός της διαμέτρου ενός φρούτου αυξάνει το εμβαδό επιφάνειας και τον όγκο κατά παράγοντες που είναι πολύ μεγαλύτεροι απο το διπλάσιο, παρόλο που οι μετρήσεις είναι κατά προσέγγιση.

Οι μαθητές θα διερευνήσουν περαιτέρω αυτό το ερώτημα στην επόμενη δραστηριότητα.

Δραστηριότητα 3: Σύγκριση του εμβαδού και του όγκου ενός φρούτου

Σε αυτή τη δραστηριότητα, οι μαθητές ανακαλύπτουν πως μεταβάλλεται το εμβαδό και ο όγκος ενός αντικειμένου όταν αυξάνονται οι γραμμικές του διαστάσεις. Οι μεγαλύτεροι μαθητές μπορούν επίσης να εξερευνήσουν πως οι μαθηματικοί τύποι για το εμβαδό επιφάνειας και τον όγκο κανονικών στερεών μπορούν να συσχετιστούν με πραγματικά αντικείμενα, ακανόνιστου σχήματος όπως φρούτα, αν είναι ήδη εξοικειωμένοι με αυτούς τους τύπους (Μέρος 2)

Υλικά

• Σετ αλληλοσυνδεόμενων κύβων 1 cm ο καθένας (π.χ. Regoliâ, MathLinkCubesâ)
• Μιλιμετρέ χαρτί
• Μερικά φρούτα διαφορετικών σχημάτων (π.χ. πορτοκάλι, μήλο, αχλάδι)
• Για αναφορά, μαθηματικοί τύποι για εμβαδά επιφανειών κανονικών στερεών (κύβοι, σφαίρες, κώνοι, κύλινδροι, κτλ

Διαδικασία

Μέρος 1: Μοντελοποίηση με μοναδιαίο κύβο

1. Οι μαθητές θα πρέπει να ακολουθήσουν τα παρακάτω βήματα. Μπορούν να εργαστούν ατομικά ή σε ομάδες, ανάλογα με το πόσα σετ μοναδιαίων κύβων είναι διαθέσιμα.
2. Χρησιμοποιώντας τους μοναδιαίους κύβους, κατασκευάστε αρκετούς κύβους πλευράς 1,2, 3 και 4 μονάδων.
3. Μετρήστε το εμβαδό επιφάνειας κάθε κύβου, και καταγράψτε το, καθώς και το μήκος της ακμής σε έναν πίνακα (πίνακας 2)
4. Υπολογίστε τον όγκο χρησιμοποιώντας τον τύπο l 3 (l x l x l) όπου 1 είναι το μήκος της ακμής, και εισάγετέ το στον πίνακα.
5. Ελέγξτε τώρα το αποτέλεσμα αποσυναρμολογώντας τον κύβο και μετρώντας τον αριθμό των κύβων.

6. Σχεδιάστε δύο γραφήματα χρησιμοποιώντας τις τιμές του πίνακα 2: χρησιμοποιήστε το μήκος της ακμής του κύβου στον άξονα x, και το συνολικό εμβαδό επιφάνειας και τον όγκο στον άξονα y αντίστοιχα. Τι παρατηρείτε σχετικά με το πως αυξάνεται (i) το εμβαδό επιφάνειας και (ii) ο όγκος σε σχέση με το μήκος της πλευράς;

Μέρος 2: Υπολογισμοί φρούτων και κανονικών στερεών

1. Διαλέξτε δύο φρούτα (π.χ. πορτοκάλι και αχλάδι). Σκεφτόμενοι αρχικά για κανονικά μαθηματικά στερεά (π.χ. σφαίρες, κύλινδροι, κώνοι), επεξεργαστείτε πώς να σχηματίσετε προσεγγιστικά το σχήμα του φρούτου σας χρησιμοποιώντας συνδυασμούς διαφορετικών κανονικών στερεών (εικόνα 7).
2. Χρησιμοποιήστε τους τύπους για αυτά τα στερεά για να υπολογίσετε το εμβαδό επιφάνειας και τον όγκο του φρούτου. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της δραστηριότητας 2 για να βρείτε το μήκος ή/και τη διάμετρο του φρούτου σας.

Συζήτηση

Οι ακόλουθες ερωτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βοηθήσουν τους μαθητές να αναστοχαστούν τι έχουν μάθει στις δραστηριότητες:

• Όταν διπλασιάζεται το μήκος της ακμής ενός κύβου, τι συμβαίνει στο εμβαδό επιφάνειάς του;
• Όταν διπλασιάζεται το μήκος της ακμής ενός κύβου, τι συμβαίνει με τον όγκο του;
• Ανατρέξτε στα αποτελέσματά σας από την δραστηριότητα 2. Πιστεύετε ότι οι τιμές που λάβατε συμφωνούν προσεγγιστικά με αυτούς τους κανόνες;
• Πώς θα αυξανόταν το εμβαδό επιφάνειας και ο όγκος ενός κύβου αν το μήκος της ακμής του τριπλασιαζόταν;
• Για τους κύβους, τι σχήμα έχουν τα γραφήματα του (i) εμβαδού επιφάνειας και (ii) του όγκου σε συνάρτηση με το μήκος της ακμής;
• Ποιοι είναι οι μαθηματικοί τύποι για αυτά τα σχήματα;
• Πώς πιστεύετε ότι αυξάνεται το εμβαδό επιφάνειας και ο όγκος με το μέγεθος για άλλα σχήματα, π.χ. σφαίρες (σε σχέση με τη διάμετρό τους) ή κώνοι (σε σχέση με τη βάση και το ύψος τους);
• Πόσο πολύ ταιριάζουν οι τιμές που υπολογίσατε με τις πραγματικές τιμές του εμβαδού επιφάνειας και του όγκου για φρούτα με ακανόνιστο σχήμα από τη δραστηριότητα 2;

Κοιτάζοντας στον πίνακα τιμών για τους κύβους (πίνακας 2), οι μαθητές μπορούν να επαληθεύσουν ότι το εμβαδό της μιας όψης του κύβου (και η συνολική επιφάνεια) αυξάνεται ανάλογα με το τετράγωνο του μήκους της ακμής (l ²), ενώ ο όγκος αυξάνεται σύμφωνα με τον κύβο του μήκους της ακμής (l ³). Συνεπώς, ο όγκος αυξάνεται γρηγορότερα από το εμβαδό επιφάνειας σε σχέση με το αυξανόμενο μήκος της πλευράς.

Από τα γραφήματα, οι μαθητές μπορούν να δουν ότι η γραφική παράσταση του εμβαδού προς το μήκος της ακμής σχηματίζει μια παραβολή (τετραγωνική σχέση), ενώ αυτή του όγκου προς το μήκος της ακμής σχηματίζουν μια κυβική καμπύλη (κυβική σχέση).